The Kulla-Conty Approximation

一、介绍

读后感来自 Revisiting Physically Based Shading at Imageworks, SIGGRAPH 2017 course，by Kulla and Conty。这篇文章介绍了一种快速的补偿微表面模型能量损失的近似方法，为工业界常用的一种“相当简单”的补偿微表面能量损失的方法。

二、背景

在使用微表面模型的时候，越是粗糙的物体能量损失越是严重。如下图所示：

随着粗糙度从左往右变大，我们模型也变得越暗，也就意味能量越低。具体可通过白炉测试看出，如下图所示：

对所用模型，使用各方向完全一样的环境光。由于能量守恒，理论上模型入射和出射能量保持一致（此处没有颜色的能量吸收）。但实际上越右边的（粗糙度更大）的模型能量损失越多。这是由于微表面考虑G项时，只做了一次入射遮挡和出射遮挡。

对于粗糙的物体，光线可能会在微表面间弹射多次。因此一次的遮挡计算是不够的。如下图所示，越是粗糙的物体，其在微表面间的弹射应该更多次。

因此我们需要一种方法来补偿该能量，当然一种在微表面间作path tracing的方法是符合物理的。例如[Multiple-scattering microfacet BSDFs with the Smith model,Heitz et al.2016]就尝试在物理上精确描述能量损失。但是在实时渲染领域，该方法效率显然太低。因此此处介绍了一种快速的补偿微表面能量损失的近似方法。该方法为The Kulla-Conty Approximation，其用一种经验性的方式补偿了能量损失。

三、原理

第一步，论文给出了E( )的表达式，表达给定方向下， radiance为1时的积分，即irradiance，此时= sin θ。如下图所示：

那么假设入射为1，反射为E( )，那么给定方向下，一次弹射需要补充的能量则为1-E( )。

第二步，论文及其“自然”地想到了关系式（如下）以表达brdf的对称性，该式的积分应等于1-E( )。

第三步，解出常值C。具体解法如下：

因此积分式内的表达式为第二步所求式。即（如下图）

第四步，那显然只要知道了E( )与E（avg）就可以得到一次弹射的能量损失。一个无解析解的积分，我们可以用恰当的预计算方式得到数值解。分析参数可得，E( )只和和roughness有关，E（avg）只与roughness有关。因此E( )可用一张二维纹理存储，E（avg）可用一维纹理存储。如下所示：

由以上4步可以完全计算出一次弹射的能量损失，结果如下图。显然补偿后，粗糙的物体比原来更“亮”了，能量保持了一致性。

到此为止，我们完成了该方法的一般，该文用设计的公式模拟一次弹射的能量变化（无颜色）。那么如果brdf有颜色呢，如果是多次呢？接下来请看。

我们知道颜色意味着吸收，而吸收为能量损失。我们尝试计算该部分“应该”损失的能量。即方法为：先假设模型无颜色E( )，然后计算有颜色时的brdf能量损失F(avg)，最后补上。方法如下：

第一步，F(avg)表达平均每次反射的能量，计算方式与上面雷同，如下：

第二步，那么一次弹射的有颜色的能量为F(avg)E(avg)，损失为F(avg)（1-E(avg)）F(avg) E(avg)。那么多次弹射的有颜色能量损失为，如下图推导：

第三步，根据等比数列求和公式，我们可得和为：

该式为最终应补偿能量结果，乘上该结果，我们可得：

四、结论

该论文对于不同材质和情况还有很多分析，此处不多做介绍。接下来贴出我实现的结果。

五、引用

https://www.bilibili.com/video/BV1YK4y1T7yY?p=10 （Games202课程）

https://fpsunflower.github.io/ckulla/data/s2017_pbs_imageworks_slides_v2.pdf （原文PPT）

https://dl.acm.org/doi/abs/10.1145/2897824.2925943 （[Multiple-scattering microfacet BSDFs with the Smith model,Heitz et al.2016]）

最后

给对图形学有兴趣的同学推荐yanlinqi老师在B站的课，相信你一定会受益匪浅。