数理方程：能量法

Reference：

[1] 桂贵龙老师的讲稿.

[2] 谷超豪，数学物理方程.

可以参考的笔记：

吟雪千夏：Modern PDE Notes: Lecture 8

吟雪千夏：Modern PDE Notes: Lecture 14

一、能量法的

“能量”这个东西具体是什么我不太好说，可能有一定的物理意义。不过为了能搞出来题目，我们需要知道这个方法是怎么应用在问题上的，并且它能够干什么。

例如，对于Poisson方程

\Delta u=f\quad\mathrm{in}\quad\Omega

那么我们就称 E(u):=\displaystyle\int_{\Omega}\left(\frac{1}{2}\left\|\nabla_x u\right\|^2+fu\right)\mathrm dx 为这个问题的能量泛函，它把 u 映射为一个数值，刻画了解在某种意义下的“总能量”。对于其他不同的方程，我们通常需要定义不同的能量。例如，对于热方程 \partial_t u-\Delta u=0 ，能量就定义为

E(t)=\displaystyle\int_{\Omega}\left|u(x,t)\right|^2 \mathrm dx

对于固定的 u ，它是时间 t 的一个单变量的函数。对于波动方程 u_{tt}=\Delta u ，能量定义为E(t)=\displaystyle\int_\Omega\left\|\nabla_{x,t}u\right\|^2\mathrm dx

也就是把对时间的导数也放进去了。这三种能量，待会我们会一一看到，这样定义有什么好处。

至于具体问题的能量怎么定义，应该要用到更加高级的数学。考试的时候，如果要让你估计能量，一般都会事先告诉你能量是怎么定义的，然后你对着那个东西去倒腾就行了。

能量法有很多的作用，它不需要把解写出来，而只需要通过对能量进行估计，就可以证明类似于解的唯一性等等定理，也可以估计解在时间趋于无穷时的某些性质，比方说函数值是否趋于零。

下面，我们就以一个例子作为展示：

Example 1 (2020)

设 u 是问题

\begin{cases} u_{xxt}+u_{xx}-u^3=0,0<x<1,t>0\\ u|_{t=0}=x\left( 1-x \right)\\ u|_{x=0}=u|_{x=1}=0\\ \end{cases}

的解，试估计能量 E(t)=\displaystyle\int_0^1 \left|u_x(x,t)\right|^2\mathrm dx 所满足的能量不等式，并证明 \lim\limits_{t\to+\infty} u(x,t)=0 。

Proof

问题的能量泛函为 E(t)=\displaystyle\int_0^1 \left|u_x\right|^2\mathrm dx ，对它求导得：

\begin{array}{l} \displaystyle E'\left( t \right) =2\int_0^1{u_xu_{xt}}\mathrm{d}x=2\int_0^1{u_{xt}}\mathrm{d}u=-2\int_0^1{u}u_{xxt}\mathrm{d}x \\ \\\displaystyle =2\int_0^1{u\left( u_{xx}-u^3 \right) \mathrm{d}x}=2\int_0^1{uu_{xx}-u^4\mathrm{d}x} \\ \\\displaystyle =2\int_0^1{uu_{xx}\mathrm{d}x}-2\int_0^1{u^4\mathrm{d}x} \\ \\\displaystyle =2\int_0^1{u\mathrm{d}u_x}-2\int_0^1{u^4\mathrm{d}x} \\ \\\displaystyle =-2\int_0^1{\left| u_x \right|^2\mathrm{d}x}-2\int_0^1{u^4\mathrm{d}x} \\ \\\displaystyle =-2E\left( t \right) -2\int_0^1{u^4\mathrm{d}x} \end{array}

因此 \displaystyle E'\left( t \right) +2E\left( t \right) =-2\int_0^1{u^4\mathrm{d}x}\le 0 ，这说明 (E(t)e^{2t})'\le 0 ，从而

E(t)e^{2t}\le E(0)e^0=C

即 E(t)\le Ce^{-2t} ，从而当 t\to+\infty 时， E(t)\to0 ，故也有 E'(t)\to 0 ，于是 \displaystyle\int_0^1 u^4\mathrm dx\to 0 ，从而

u(x,t)\to 0\quad a.e. \ \mathrm{on}\ \ x\in[0,1]

如果 \lim\limits_{t\to+\infty}u 还是连续的，那么就有 \lim\limits_{t\to+\infty} u(x,t)=0 。□

不难总结出能量法的步骤：

Step 1：定义好能量函数；

Step 2：对能量函数求导(一般求一次导就可以)，利用分部积分(高维时用散度定理)尽量往方程的第一个等式上靠，然后尽可能地得到 E'(t) 和 E(t) 的关系；

Step 3：利用这个关系得到 E(t) 本身的一个估计。一般来说是用Gronwall不等式，或者直接像我这样用 e^x 的构造；

Step 4：利用这个估计去证明你需要的东西。

下面我们再看看能量法在定理证明中的应用，从中感受一下能量法的操作思路。

二、波动方程

Theorem 1 波动方程初边值问题解的唯一性

波动方程的下述初边值问题

\left\{ \begin{array}{r} u_{tt}-\Delta u=f\\ u=g\\ u_t=h\\ \end{array}\begin{array}{l} \quad \mathrm{in}\quad \Omega _T\\ \quad \mathrm{on}\quad \partial _p\Omega _T\\ \quad\mathrm{on}\quad \left\{ t=0 \right\} \times \Omega \\ \end{array} \right.\quad\color{blue}{\cdots(1)}

在 C^2(\bar\Omega_T) 中至多有一个解。

Proof

假设 u,v 都是问题的解，置 w=u-v ，则 w 满足

\left\{ \begin{array}{r} w_{tt}-\Delta w=0\\ w=0\\ w_t=0\\ \end{array}\begin{array}{l} \quad \mathrm{in}\quad \Omega _T\\ \quad \mathrm{on}\quad \partial _p\Omega _T\\ \quad\mathrm{on}\quad \left\{ t=0 \right\} \times \Omega \\ \end{array} \right.

定义能量泛函为

E(t)=\displaystyle\int_{\Omega} \left(w_t^2+\left\|\nabla_x w\right\|^2\right)\mathrm dx

则

\displaystyle E'(t)=2\int_{\Omega}{\left( w_tw_{tt}+\nabla _xw\cdot \nabla _xw_t \right)}\mathrm{d}x

为了处理 \nabla u_x\cdot\nabla u_{xt} ，我们用Green第二公式

\displaystyle \int_{\Omega}{\nabla _xw\cdot \nabla _xw_t}\mathrm{d}x=\int_{\partial \Omega}{w_t\left( \mathbf{n}_x\cdot \nabla _xw \right)}\mathrm{d}x-\int_{\Omega}{w_t\Delta _xw}\mathrm{d}x=-\int_{\Omega}{w_t\Delta _xw}\mathrm{d}x

这表明

\displaystyle E'(t) =2\int_{\Omega}{\left(w_tw_{tt}-w_t\Delta _xw \right)}\mathrm{d}x=0

从而 E(t)\equiv C=E(0)=0 ，故 w_t,\nabla _xw 处处为零，因此 w(t,x)\equiv C ，再由 w|_{\partial_p\Omega_T}=0 ，即知在 \Omega_T 上恒有 w=0 。□

三、热传导方程

Theorem 2 热方程初边值问题解的唯一性

热方程的下述初边值问题

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}} {{u_t} - \Delta u = f,}\\ {u = g,} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}} {\mathrm{in}\space \space\Omega_T }\\ {{\rm{on}}\space\space \partial_p\Omega_T} \end{array}\space\space\color{red}{\cdots (\rm 2)}\]

在 C^{1,2}(\bar\Omega_T) 中至多有一个解。

Proof

假设有两个解 u,v ，考虑 w=u-v ，则 w 满足

\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}} {{w_t} - \Delta w = 0,}\\ {w = 0,} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}} {\mathrm{in}\space \space\Omega_T }\\ {{\rm{on}}\space\space \partial_p\Omega_T} \end{array}

定义能量泛函为 E(t)=\displaystyle\int_\Omega \left|w(t,x)\right|^2\mathrm dx ，则

\displaystyle E'\left( t \right) =\int_{\Omega}{2ww_t\mathrm{d}x}=2\int_{\Omega}{w\Delta w\mathrm{d}x}=-2\int_{\Omega}{\left\|\nabla w\right\|^2}\mathrm{d}x\le 0

因此 0\le E(t)\le E(0)=0 ，从而 E(t)\equiv 0 ，这就表明 w(t,x)\equiv 0 ，即 u\equiv v 。□

Theorem 3 倒向唯一性

热方程的下述倒向问题

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}} {{u_t} - \Delta u = f,}\\ {u = g,} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}} {\mathrm{in}\space \space\Omega_T }\\ {{\rm{on}}\space\space \partial_p^b\Omega_T} \end{array}\space\space\color{red}{\cdots (\rm 2B)}\]

在 C^{1,2}(\bar\Omega_T) 内至多有一个解。其中

\partial_p^b\Omega_T:=([0,T]\times\partial\Omega)\cup(\{t=T\}\times\Omega)

Proof

沿用刚才的记号，有 E'(t)=-2\displaystyle\int_\Omega \left\|\nabla w\right\|^2\mathrm dx ，再继续求一次导得

\displaystyle E''\left( t \right) =-4\int_{\Omega}{\nabla w\cdot \nabla w_t\mathrm{d}x}=4\int_{\Omega}{w_t\Delta w\mathrm{d}x}=4\int_{\Omega}{\left( \Delta w \right) ^2\mathrm{d}x}

利用Cauchy-Schwarz不等式，注意到

\displaystyle E'\left( t \right) ^2=4\left( \int_{\Omega}{w\Delta w\mathrm{d}x} \right) ^2\le 4\int_{\Omega}{\left( \Delta w \right) ^2\mathrm{d}x\int_{\Omega}{w^2\mathrm{d}x}}=E\left( t \right) E''\left( t \right)

于是，令 \varphi(t)=\ln E(t) ，则

\displaystyle \varphi ''\left( t \right) =\frac{E''\left( t \right) E\left( t \right) -E'\left( t \right) ^2}{E^2\left( t \right)}\ge 0

这即是说 \varphi 是凸函数。下面我们证明 E(t)\equiv 0 ，若不然，令 t_2=\inf\{t\le T:E(t)=0\}>0 ，则 E(t) 在 [t_1,t_2) 上恒不为零，其中 0<t_1<t_2 。由凸函数的性质，对任意的 \tau\in(0,1) ，成立

\left( 1-\tau \right) \ln E\left( t_1 \right) +\tau \ln E\left( t \right) \ge \ln E\left( (1-\tau)t_1+\tau t \right)

化简得

E\left( t_1 \right) ^{1-\tau}E\left( t \right) ^{\tau}\ge E\left( t_1+\left( 1-\tau \right) t \right)

现在让 t\to t_2 ，则有

\displaystyle 0\le E\left( (1-\tau)t_1+\tau t_2 \right) \le E\left( t_1 \right) ^{1-\tau}E\left( t_2 \right) ^{\tau}=0

即 E\left((1-\tau)t_1+\tau t_2 \right) =0 ，但 (1-\tau)t_1+\tau t_2\in[t_1,t_2) ，这和 t_2 是 \{E(t)=0\} 的下确界矛盾。□

四、泊松方程

Theorem 4 泊松方程边值问题解的唯一性

泊松方程的下述边值问题

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}} {\Delta u = f,}\\ {u = g,} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}} {\mathrm{in}\space \space\Omega }\\ {{\rm{on}}\space\space \partial\Omega} \end{array}\space\space\color{violet}{\cdots (\rm 3)}\]

在 u\in C^2(\bar \Omega) 内至多有一个解。

Proof

与上面的讨论类似，设 w 满足问题

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}} {\Delta w = 0,}\\ {w = 0,} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}} {\mathrm{in}\space \space\Omega }\\ {{\rm{on}}\space\space \partial\Omega} \end{array}\space\space\]

只要证明 w=0 。定义能量泛函 E(w):=\displaystyle\int_{\Omega} \left\|\nabla w\right\|^2\mathrm dx ，则利用Green第一公式有

E(w)=\displaystyle\int_\Omega w\Delta w=0

这表明 \nabla w\equiv 0 ，再结合边界上 w=0 ，即知 w 在 \bar \Omega 上恒为零。□

Definition 1 容许集(Admissible Set)

我们称

\mathscr A:=\{v\in C^2(\bar\Omega):v=g\ \ \mathrm{on}\ \ \partial\Omega\}

为边值问题 \color{violet}{(3)} 的容许集。

Remark 容易看出， \color{violet}{(3)} 的解 u\in\mathscr A 。

下面的这个定理很重要，它表明： \color{violet}{(3)} 的解 u 不是别的，正是其容许集 \mathscr A 中，使得能量泛函 I(v) 达到极小的那个“极小子”(minimizer)。

在以后复习有限元方法的时候，我们还会证明虚功原理等价于极小势能原理，使用的也是这种思想。

Theorem 5 狄利克雷原理

定义问题 \color{violet}{(3)} 的能量泛函(Energy Functional)为

I(v):=\displaystyle\int_\Omega\left( \frac{1}{2}\left\|\nabla v\right\|^2+fv \right)\mathrm dx

则 u 是 \color{violet}{(3)} 的解的充分必要条件是：

\color{Cornflowerblue}{I(u)=\min\limits_{v\in\mathscr A}I(v)}

Proof

充分性。设 u 使得 I 在 \mathscr A 中达到极小，我们要证明 \Delta u=f 。任意给定 \eta\in C_c^\infty(\Omega) ，则对任意的 t ，都成立 u+t\eta\in\scr A 。定义 t 的单变量函数 \alpha(t)=I(u+t\eta) ，则由已知有 \alpha(0)=\min\limits_{t\in\mathbb R}\alpha(t) ，这也就说明

\alpha'(0)=0

我们现在把它算出来：

\begin{array}{l} \displaystyle \alpha \left( t \right) =\int_{\Omega}{\left( \frac{1}{2}\left\| \nabla u+t\nabla \eta \right\| ^2+\left( u+t\eta \right) f \right)}\mathrm{d}x \\ \\\displaystyle =\int_{\Omega}{\left( \frac{1}{2}\nabla u^2+\frac{1}{2}t^2\nabla \eta ^2+t\nabla u\cdot \nabla \eta +uf+t\eta f \right)}\mathrm{d}x \\ \\\displaystyle =I\left( u \right) +t\int_{\Omega}{\left( \nabla u\cdot \nabla \eta +f\eta \right)}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}t^2\int_{\Omega}{\nabla \eta ^2\mathrm{d}x} \end{array}

从而 \displaystyle\alpha'(t)=\int_{\Omega}{\left( \nabla u\cdot \nabla \eta +f\eta\right)}\mathrm{d}x+t\int_{\Omega}{\nabla \eta ^2\mathrm{d}x} 。由 \alpha'(0)=0 ，得到

\displaystyle\int_\Omega (\nabla u\cdot\nabla \eta +f\eta)\mathrm dx=0

另一方面，由散度定理有

\displaystyle\int_\Omega(\nabla u\cdot\nabla\eta)\mathrm dx=\displaystyle\int_{\partial\Omega} \eta(\mathbf n_x\cdot\nabla u)\mathrm dS_x-\int_\Omega \eta\Delta u\mathrm dx=-\int_\Omega \eta\Delta u\mathrm dx

(注意 \eta\in C_c^\infty(\Omega) 是紧支的)

于是，最终得到

\displaystyle\int_\Omega (\Delta u-f)\eta=0,\quad \forall \eta\in C_c^\infty(\Omega)

那么就只能是 \Delta u=f (可用Lebesgue控制收敛定理证明)。

必要性。任取 v\in\scr A ，我们证明 I(u)\le I(v) 。注意到 u-v 在边界上为零，故

\displaystyle\int_\Omega (\Delta u-f)(u-v)\mathrm dx=0

于是，根据散度定理有

\displaystyle \int_{\Omega}{\left( fu-fv \right) \mathrm{d}x}=\int_{\Omega}{\Delta u\left( u-v \right) \mathrm{d}x}=-\int_{\Omega}{\nabla u\left( \nabla u-\nabla v \right) \mathrm{d}x}

整理得

\displaystyle \int_{\Omega}{\left( \left\| \nabla u \right\| ^2+fu \right) \mathrm{d}x}=\int_{\Omega}{\left( \nabla u\cdot \nabla v+fv \right) \mathrm{d}x}

由Cauchy不等式，有

\displaystyle \int_{\Omega}{\left( \nabla u\cdot \nabla v \right) \mathrm{d}x}\le \frac{1}{2}\left( \int_{\Omega}{\left\| \nabla u \right\| ^2\mathrm{d}x}+\int_{\Omega}{\left\| \nabla v \right\| ^2\mathrm{d}x} \right)

整理即得

\displaystyle \int_{\Omega}{\left( \frac{1}{2}\left\| \nabla u \right\| ^2+fu \right) \mathrm{d}x}=\int_{\Omega}{\left( \frac{1}{2}\left\| \nabla v \right\| ^2+fv \right) \mathrm{d}x}

此即 I(u)\le I(v) 。□